CLASE 3

OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS

Dados dos conjuntos A y B, se llama diferencia al conjunto A - B := {a Î A | a Ï B}.
Asimismo, se llama diferencia simétrica entre A y B al conjunto A D B := (A - B) È (B - A).Si A Î Ã (U), a la diferencia U - A se le llama complementario de A respecto de U,
y se denota abreviadamente por A' (U se supone fijado de antemano).
Es fácil ver que si A y B son subconjuntos cualesquiera de U se verifica:

• Æ ' = U .
• U ' = Æ .
• (A')' = A .
• A Í B Û B' Í A' .
• Si A = { x Î U | p(x) es una proposición verdadera} entonces A' = { x Î U | p(x) es una proposición falsa}.

Se llama unión de dos conjuntos A y B al conjunto formado por objetos que son elementos de A o de B,
es decir: A È B := { x | x Î A Ú x Î B}.Se llama intersección de dos conjuntos A y B al conjunto formado por objetos que son elementos de A y de B,
es decir: A Ç B := {x | x Î A Ù x Î B}.
Si A y B son subconjuntos de un cierto conjunto universal U, entonces es fácil ver que A - B = A Ç B'.
En este caso, la llamadas operaciones booleanas (unión e intersección) verifican las siguientes propiedades :

PROPIEDADES	UNION	INTERSECCION
1.- Idempotencia	A È A = A	A Ç A = A
2.- Conmutativa	A È B = B È A	A Ç B = B Ç A
3.- Asociativa	A È ( B È C ) = ( A È B ) È C	A Ç ( B Ç C ) = ( A Ç B ) Ç C
4.- Absorción	A È ( A Ç B ) = A	A Ç ( A È B ) = A
5.- Distributiva	A È ( B Ç C ) = ( A È B ) Ç ( A È C )	A Ç ( B È C ) = ( A Ç B ) È ( A Ç C )
6.- Complementariedad	A È A' = U	A Ç A' = Æ

Estas propiedades hacen que partes de U con las operaciones unión e intersección tenga una estructura de álgebra de Boole.
Además de éstas, se verifican también las siguientes propiedades:

• A È Æ = A , A Ç Æ = Æ ( elemento nulo ).
• A È U = U , A Ç U = A ( elemento universal ).
• ( A È B )' = A' Ç B' , ( A Ç B )' = A' È B' ( leyes de Morgan ).

Dados dos conjuntos A y B, se define el producto cartesiano de ambos como el conjunto de pares ordenados:
 A ´ B := { (a,b) : a Î A Ù b Î B}
Dos pares (a,b) y (c,d) de A ´ B son iguales si a = c y b = d; análogamente, dados cuatro conjuntos A,B,C,D se verifica

A ´ B = C ´ D Û ( A = C Ù B = D )
Se llama grafo relativo a A ´ B a todo subconjunto G Í A ´ B.
Dado un grafo G relativo a A ´ B, se llama proyección de G sobre A al conjunto

Proy_AG := { a Î A : (a,b) Î G, $ b Î B}
Análogamente se define la proyección Proy_BG de G sobre B.
Por último, los conceptos anteriores pueden generalizarse a familias de conjuntos.
Si para cada elemento i de un conjunto (de índices ) I se tiene un conjunto A_i , entonces se define el conjunto { A_i : i Î I }
y se denomina familia de conjuntos indicada por I. También se suele denotar por { A_i } _i Î I .
De forma análoga se define una familia de elementos ( a_i ) _i Î I .
Dada una familia de conjuntos { A_i } _i Î I se definen:
 

• È _i ÎI A_i := { a : a Î A_i , $ i Î I }
• Ç _i Î I A_i := { a : a Î A_i , " i Î I }
• Õ _i Î I A_i := { (a_i) : a_i Î A_i , " i Î I }

Las propiedades de la unión e intersección siguen siendo válidas para familias de conjuntos, y en particular las leyes de Morgan :
 ( È _i Î I A_i )' = Ç _i Î I A'_i     ,    (Ç_i Î I A_i )' = È_i Î I A'_iDIAGRAMAS DE VENNLos conjuntos de suelen representar gráficamente mediante "diagramas de Venn", con una línea que encierra a sus elementos.
Así, todas las operaciones entre conjuntos se pueden representar gráficamente con el fin de obtener una idea más intuitiva.

A Í B


A È B


A Ç B


A - B


A D B