CLASE 4
PROBABILIDAD CONDICIONAL
Sean A y B dos sucesos de un mismo espacio muestral E.
Se llama probabilidad del suceso B condicionado a A y se representa por P(B/A) a la probabilidad del suceso B una vez ha ocurrido el A.
condicionada
Ejemplo
Calcular la probabilidad de obtener un 6 al tirar un dado sabiendo que ha salido par.
condicionada
Sucesos independientes
Dos sucesos A y B son independientes si
p(A/B) = p(A)
Sucesos dependientes
Dos sucesos A y B son dependientes si
p(A/B) ≠ p(A)
PROBABILIDAD TOTAL
PROBABILIDAD TOTAL
Si A 1, A 2 ,... , A n son:
Sucesos incompatibles 2 a 2.
Y cuya unión es el espacio muestral (A 1 unión A 2 unión... unión A n = E).
Y B es otro suceso.
Resulta que:
p(B) = p(A1) · p(B/A1) + p(A2) · p(B/A2 ) + ... + p(An) · p(B/An )
Ejemplos
Se dispone de tres cajas con bombillas. La primera contiene 10 bombillas, de las cuales hay cuatro fundidas; en la segunda hay seis bombillas, estando una de ellas fundida, y la tercera caja hay tres bombillas fundidas de un total de ocho. ¿Cuál es la probabilidad de que al tomar una bombilla al azar de una cualquiera de las cajas, esté fundida?
árbol
solución
Sucesos incompatibles 2 a 2.
Y cuya unión es el espacio muestral (A 1 unión A 2 unión... unión A n = E).
Y B es otro suceso.
Resulta que:
p(B) = p(A1) · p(B/A1) + p(A2) · p(B/A2 ) + ... + p(An) · p(B/An )
Ejemplos
Se dispone de tres cajas con bombillas. La primera contiene 10 bombillas, de las cuales hay cuatro fundidas; en la segunda hay seis bombillas, estando una de ellas fundida, y la tercera caja hay tres bombillas fundidas de un total de ocho. ¿Cuál es la probabilidad de que al tomar una bombilla al azar de una cualquiera de las cajas, esté fundida?
árbol
solución
El teorema de Bayes
En la teoría de la probabilidad, es una proposición planteada por el filósofo inglés Thomas Bayes (1702-1761)1 en 1763,2 que expresa la probabilidad condicional de un evento aleatorio A dado B en términos de la distribución de probabilidad condicional del evento B dado A y la distribución de probabilidad marginal de sólo A.
En términos más generales y menos matemáticos, el teorema de Bayes es de enorme relevancia puesto que vincula la probabilidad de A dado B con la probabilidad de B dado A. Es decir, por ejemplo, que sabiendo la probabilidad de tener un dolor de cabeza dado que se tiene gripe, se podría saber (si se tiene algún dato más), la probabilidad de tener gripe si se tiene un dolor de cabeza. Muestra este sencillo ejemplo la alta relevancia del teorema en cuestión para la ciencia en todas sus ramas, puesto que tiene vinculación íntima con la comprensión de la probabilidad de aspectos causales dados los efectos observados.
EJEMPLOS :
* En una gasolinera, el 49% de los automoviles usan gasolina regular, el 27% usan gasolina extra y el resto usa gas natural vehicular. El 68% de los automoviles que usan gasolina regular llenan el tanque, mientras el 78% de los que usan gasolina extra llenan el tanque y el 95% de los que usan gas natural vehicular llenan el tanque. Si se selecciona al azar un cliente que usa gasolina extra, ¿ cual es la probabilidad de que llene el tanque?
SOLUCION:
Sean los eventos:
A1 que consiste en que el cliente usa gasolina regular.
A2 que consiste en que el cliente usa gasolina extra.
A3 que consiste en que el cliente usa gas natural vehicular.
A1, A2, A3 son mutuamente excluyentes y exhaustivos.
ademas P(A1) = 0.49, P(A2) = 0.27, P(A3) = 0.24
sea B el evento que consiste en que el cliente llena el tanque.
se sabe que: P(B\A1) = 0.68, P(B\A2) = 0.78, P(B\A3) = 0.95
El diagrama de arbol correspondiente es:
SOLUCION:
Sean los eventos:
A1 que consiste en que el cliente usa gasolina regular.
A2 que consiste en que el cliente usa gasolina extra.
A3 que consiste en que el cliente usa gas natural vehicular.
A1, A2, A3 son mutuamente excluyentes y exhaustivos.
ademas P(A1) = 0.49, P(A2) = 0.27, P(A3) = 0.24
sea B el evento que consiste en que el cliente llena el tanque.
se sabe que: P(B\A1) = 0.68, P(B\A2) = 0.78, P(B\A3) = 0.95
El diagrama de arbol correspondiente es:
P(A1) = 0,49 ⇒ P(B\A1) = 0,68
P(A2) = 0,27 ⇒ P(B\A2) = 0,78
P(A3) = 0,24 ⇒ P(B\A3) = 0,95
Por el teorema de Bayes se tiene que:
P(A2\B) = 0,78 x 0,27 = 0,2106 = 0.2729
0,68x0,49+0,78x0,27+0,95x0,24 0,7718
Es decir la probabilidad de que se llene el tanque es 0,2729 o el 27,29% de los vehiculos les llena el tanque.
* El 20% de los empleados de una empresa son ingenieros y otro 20% son economistas. El 75% de los ingenieros ocupan un puesto directivo y el 50% de los economistas también, mientras que los no ingenieros y los no economistas solamente el 20% ocupa un puesto directivo. ¿Cuál es la probabilidad de que un empleado directivo elegido al azar sea ingeniero?
* La probabilidad de que haya un accidente en una fábrica que dispone de alarma es 0.1. La probabilidad de que suene esta sí se ha producido algún incidente es de 0.97 y la probabilidad de que suene si no ha sucedido ningún incidente es 0.02.
En el supuesto de que haya funcionado la alarma, ¿cuál es la probabilidad de que no haya habido ningún incidente?
Sean los sucesos:
I = Producirse incidente.
A = Sonar la alarma.
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